Question

18．若三棱锥P-ABC的三个侧面与底面ABC所成角都相等，则顶点P在底面的射影为△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 重心
• C． 内心
• D． 垂心

Answer 1

分析 作出三个二面角，利用三角形全等得出O到△ABC的三边距离相等，得出结论．

解答 解：设P在底面ABC的射影为O，过O向△ABC的三边作垂线OD，OE，OF，
连结PD，PE，PF，
∵PO⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PO⊥AB，又OD⊥AB，OD∩OP=O，
∴AB⊥平面OPD，∴AB⊥PD，
∴∠PDO为侧面PAB与平面ABC的二面角，
同理∠PEO，∠PFO为其余两侧面与底面ABC的二面角，
∴∠PDO=∠PEO=∠PFO，
又PO⊥OD，PO⊥OE，PO⊥OF，PO为公共边，
∴Rt△POD≌Rt△POE≌Rt△POF，
∴OD=OE=OF，
∴O是△ABC的内心．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，线面垂直的判定，二面角的做法，属于中档题．