Question

8．已知点P（x，y）是曲线C上任意一点，点（x，2y）在圆x²+y²=8上，定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x²+y²=8上，整理即可解出曲线C的方程．
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．

解答 解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8．
整理得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又K_OM=$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2mx+2m²-4=0，∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{x{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{x{x}_{1}-2}$++$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2{m}^{2}-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{2{m}^{2}-4-2{m}^{2}+4m-4m+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0．
k₁+k₂=0．
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的方程问题．考查对知识的综合运用能力，需要用到一元二次方程的根的判别式．本题属于中档题．