Question

6．为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房心理预测调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表：

	买房	不买房	纠结
城市人	5		15
农村人	20	10

已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．
（Ⅰ）分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；
（Ⅱ）从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计城市人的某项收入指标，假设一个买房人的指标算作3，一个纠结人的指标算作2，一个不买房人的指标算作1，现在从这6人中再随机选取3人，令X=再抽取3人指标之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是x、y人，根据比例关系列出方程组求出x、y的值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）填写列联表，根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）设城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是x、y人，
则$\frac{20+x}{30+y}$=$\frac{3}{8}$①，
（20+x）+（30+y）=110②；
由①②组成方程组，解得x=10，y=50；
∴城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数分别是10和50人；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到如下列联表：

	买房	不买房	纠结	总计
城市人	5	10	15	30
农村人	20	10	50	80
总计	25	20	65	110

从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取的6人中，不买房和纠结的人数分别是1，2和3，
所以X=7，6，5，4；
所以P（X=7）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{7}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{2}^{0}{•C}_{3}^{3}{+C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{7}{20}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$；
所以X的分布列为

X	7	6	5	4
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{20}$

数学期望是7×$\frac{3}{20}$+6×$\frac{7}{20}$+5×$\frac{7}{20}$+4×$\frac{3}{20}$=$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了分层抽样以及列联表的应用问题，是综合题．