Question

8．已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）．
（1）求f（-1）；
（2）作出函数图象，并求x＜0时f（x）的解析式；
（3）当x∈{x|-2≤x≤2}，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数是偶函数，得f（x）=f（-x），可知f（-1）=f（1），代入关系式进行计算即可；
（2）作图；
（3）由（2）图进行单调性和对称性的判断，代入关系式进行计算即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），
又∵当x≥0时，f（x）=x（1+x），
∴f（-1）=f（1）=2；
（2）见下图．

（3）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x（1+x），
∴f（-x）=-x（1-x），
又f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-x（1-x）=x（x-1），
即x＜0时，f（x）=x（x-1），
由函数图象可得，f（x）在[-2，0]上递减，在（0，2]上递增，
且f（-2）=6，f（0）=0，
∴f（x）的值域为[0，6]．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性，考查数形结合的思想，属于中档题．