Question

13．如图1，在直角梯形EFBC中，FB∥EC，BF⊥EF，且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A为线段FB的中点，AD⊥EC于D，沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（I）求证：BC⊥平面EDB；
（Ⅱ）求直线AM与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出ED⊥平面ABCD，BC⊥ED，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面BEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AM与平面BEF所成角的正弦值

解答 证明：（Ⅰ）∵在直角梯形EFBC中，FB∥EC，BF⊥EF，
且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A为线段FB的中点，AD⊥EC于D，
沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，DE⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴BC⊥ED，
∵AB=AD=1，在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，∵AB=AD=1，CD=2，∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=DC²，∴BC⊥BD，
又BD∩ED=D，∴BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）直线DA，DC，DE两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE为x，y，z轴建立空间坐标系
则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，0，1），F（1，0，1），M（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，0），$\overrightarrow{FB}$=（0，1，-1），
设平面的BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+0+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{0+1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴直线AM与平面BEF所成角的正弦值$\frac{\sqrt{10}}{10}$

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角，熟练掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的关键．