Question

15．已知函数f（x）定义域为R，且f'（x）＞1-f（x），f（0）=2，则不等式f（x）＞1+e^-x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 f（x）＞1+e^-x，等价于e^xf（x）-e^x-1＞0，设g（x）=e^xf（x）-e^x-1，g（0）=0，则g（x）＞g（0），确定g（x）是R上的增函数，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）＞1+e^-x，∴e^xf（x）-e^x-1＞0，
设g（x）=e^xf（x）-e^x-1，
∵f′（x）＞1-f（x），e^x＞0，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
又g（0）=0，则g（x）＞g（0）．
∴x＞0，
∴不等式f（x）＞1+e^-x的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确转化，构造函数，利用函数的单调性是关键，是中档题．