Question

17．在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”
（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率
（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分
①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率．
（Ⅱ）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450，
乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：
（90，98），（90，99），（91，99），共三个，
∴乙班总分超过甲班的概率为p=$\frac{3}{10×10}$=$\frac{3}{100}$．
（Ⅱ）①甲班平均分为$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{6}$（88+89+90+91+92+90）=90，
乙班平均数为$\overrightarrow{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{6}$（82+84+92+91+94+97）=90，
甲班方差为S²_甲=$\frac{1}{6}$（2²+1²+1²+2²）=$\frac{5}{3}$，
乙班方差为S²_乙=$\frac{1}{6}$（8²+6²+2²+1²+4²+7²）=$\frac{85}{3}$，
两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，
故甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（ξ）=$0×\frac{6}{225}+1×\frac{56}{225}+2×\frac{101}{225}+3×\frac{56}{225}+4×\frac{6}{225}$=2．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．