Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)证明: 当时, .

(Ⅱ)证明: 当时, .

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(Ⅱ)详见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由不等式的特征构造函数,结合函数的单调性求得函数的最大值，据此即可证得题中的结论： .

(Ⅱ)结合(I)的结论构造函数,研究该函数的性质即可证得当时, .

试题解析：

(Ⅰ)证明: 要证, 也即证.

令, 则. 令, 则. 因此, 当时, 有, 故在上单调递减; 当时, 有, 故在上单调递增.

所以, 在上的最大值为.

又, . 故成立, 即成立. 原命题得证.

(Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当时,

令, 则

所以, 在上单调递增，即

所以 得证.

下证.

即证

令则，所以在上单调递增,

所以， ，得证.

另证：要证，即证，

令在上递增，所以得证.