题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)若,
,求函数
的单调区间;
(2)若,且方程
在
内有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
.(2)
【解析】【试题分析】(1)先求出函数解析式导数,再借助导数与函数的单调性的关系求解;(2)依据题设先将问题进行等价转化,再构造函数运用导数与函数的单调性的关系研究函数的图像的形状分析求解:
(1)若,
,则
,
由,得
或
,
①若,即
时,
,此时函数单调递减,单调递减区间为
;
②若,即
时,由
,得
;由
得
,或
,
所以单调递增区间为,单调递减区间为
.
(2)若,∴
,
则,
若方程在
内有解,即
在
内有解,
即在
有解.
设,则
在
内有零点,设
是
在
内的一个零点,
因为,
,所以
在
和
上不可能单调,
由,设
,则
在
和
上存在零点,
即在
上至少有两个零点,因为
,
当时,
,
在
上递增,不合题意;
当时,
,
在
上递减,不合题意;
当时,令
,得
,则
在
上递减,在
上递增,
在
上存在最小值
.
若有两个零点,则有
,
.
所以,
,
设,则
,令
,得
,
当时,
,此时函数
递增;
当时,
,此时函数
递减,
则,所以
恒成立.
由,
,所以
,
当时,设
的两个零点为
,
则在
上递增,在
上递减,在
上递增,
则,
,则
在
内有零点,
综上,实数的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.