Question

【题目】设为实数，函数.

（1）求的极值；

（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？

Answer 1

【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）

【解析】试题分析：

(1)首先求得导函数，然后列表考查函数的单调性，据此可得f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.

(2)由题意结合(1)中的极值的结论可得实数a的取值范围是.

试题解析：

(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，

极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，

有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，

曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，

f(x)极小值＝f(1)＝a－1.

∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，

∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，

∴a＜－或a＞1，

∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．