Question

9．已知△ABC中，$∠ACB=\frac{2}{3}π$，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若a，b，c是依次成为等差数列，且公差为2，求c的值．
（2）在AB边上有一点P，使∠PCB=$\frac{π}{3}$，若AB=7，sinB=2sinA，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c是依次成为等差数列，且公差为2，可得b=c-2，a=c-4．再利用余弦定理即可得出．
（2）利用三角形内角平分线的性质，数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）∵a，b，c是依次成为等差数列，且公差为2，∴b=c-2，a=c-4．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，∴c²=（c-4）²+（c-2）²-2（c-4）（c-2）cos$\frac{2π}{3}$，解得c=7（2舍去）．
（2）∵sinB=2sinA，∴b=2a．
∵∠PCB=$\frac{π}{3}$，$∠ACB=\frac{2}{3}π$，∴CP平分∠ACB．
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}$=2，又AP+PB=7，解得AP=$\frac{14}{3}$，PB=$\frac{7}{3}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$|\overrightarrow{PA}|$$|\overrightarrow{PB}|$=-$\frac{14}{3}×\frac{7}{3}$=-$\frac{98}{9}$．

点评 本题考查了等差数列的性质、余弦定理、三角形内角平分线的性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．