Question

在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距离之和为

2

，则a²+b²的最大值为

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：由已恬得l₁，l₂交点为T（1，1），l₁⊥l₂，P在l₁，l₂的右侧时，过P分别向l₁，l₂引垂线，垂足分别为Q，R，那么|PQ|+|PR|=

2

过P做y轴的平行线，与l₁，l₂交点为C，B，则|PQ|=|TR|，|PR|=|RB|，点P轨迹为正方形ABCD，由此能求出a²+b²=|PO|²的最大值．

解答： 解：若动点P（a，b）到两直线l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距离之和为

2

，l₁，l₂交点为T（1，1），l₁，l₂的斜率分别为-1，1，则l₁⊥l₂，
P在l₁，l₂的右侧时，过P分别向l₁，l₂引垂线，
垂足分别为Q，R，那么|PQ|+|PR|=

2

过P做y轴的平行线，
与l₁，l₂交点为C，B如图，
则|PQ|=|TR|，|PR|=|RB|
∴|TR|+|RB|=

2

，
其它位置同理，那么点P轨迹为正方形ABCD，
当P在C（2，2）时，
|PO|取得最大值2

2

，即a²+b²=|PO|²取得最大值8．
故答案为：8．

点评：本题考查代数和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．