Question

已知二次函数f（x）=（lga）x²+2x+4lga的最小值为3，则（log_a5）²+log_a2•log_a50=

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数有最小值判断出lga＞0和f（-

1

lga

）=3，代入解析式化简求出lga的值，再求出a的值，再代入所求的式子，利用对数的运算化简求值．

解答： 解：∵f（x）=（lga）x²+2x+4lga的最小值为3，
∴lga＞0，f（x）_min=3，
即f（-

1

lga

）=lga×

1

lg2a

-2（-

1

lga

）+4lga=4lga-

1

lga

=3，
则4lg²a-3lga-1=0，
解得lga=1或lga=-

1

4

（舍去），
∴lga=1，解得a=10，
∴（log_a5）²+log_a2•log_a50=（lg5）²+lg2•lg50
=（lg5）²+lg2•（lg5+1）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了二次函数的性质，以及对数的运算性质应用，属于中档题．