Question

16．已知函数f（x）=sin²x+sin²（x+α）+sin²（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数
（1）若$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$，求函数f（x）的最小值；
（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$带入化简，利用三角函数的性质求解即可．
（2）假设存在常数值，采用“赋值法”，特殊值，令f（0）=f（$\frac{π}{2}$），带入计算求解在0≤α≤β≤π内的常数即可．

解答 解：函数f（x）=sin²x+sin²（x+α）+sin²（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数
（1）∵$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$，
则f（x）=sin²x+sin²（x+$\frac{π}{4}$）+sin²（$\frac{π}{4}$-x）=sin²x+1≥1
∴函数f（x）的最小值为1．
（2）假设存在常数值，f（0）=f（$\frac{π}{2}$），则sin²α+sin²β=1+cos²α+cos²β，
即2（sin²α+sin²β）=3，
∴sin²α+sin²β=$\frac{3}{2}$，
则cos²α+cos²β=$\frac{1}{2}$．
∴$α=\frac{π}{3}$，$β=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的性质和赋值法证明存在性问题．属于中档题．