Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3，x≥0\\（{a+2}）{e^{ax}}，x＜0\end{array}$为R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0）
• B． （0，1]
• C． （-2，0）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 根据题意可得有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞0或a＜-2}\\{a+2≤3}\end{array}\right.$，解得即可求出a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+3，x≥0\\（{a+2}）{e^{ax}}，x＜0\end{array}$为R上的单调函数，
当x≥0，f（x）=ax²+3为增函数，所以a＞0，且f（x）_min=f（0）=3
当x＜0，f（x）=（a+2）e^ax，为增函数，
则f′（x）=a（a+2）e^ax＞0，解得a＞0或a＜-2，且f（x）＜f（0）=a+2，
故有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞0或a＜-2}\\{a+2≤3}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤1，
故选：B

点评 本题考查了分段函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．