Question

7．已知椭圆的中心在原点，左焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，$\frac{1}{2}$）
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的中心在原点，左焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），且右顶点为D（2，0）．求出椭圆的几何量a，b，即可得到椭圆方程．
（2）设P（x₀，y₀），M（x，y），点A的坐标是（1，$\frac{1}{2}$），线段PA的中点M，转化求解代入椭圆方程即可得到M的轨迹方程．

解答 解：（1）∵a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），M（x，y），点A的坐标是（1，$\frac{1}{2}$），线段PA的中点M，
由中点坐标公式，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴$\frac{（2{x-1）}^{2}}{4}+（2y-\frac{1}{2}）^{2}=1$，即为中点M的轨迹方程．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．