Question

2．已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（　　）

• A． e²⁰¹⁶f（-2016）＜f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）
• B． e²⁰¹⁶f（-2016）＞f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• C． e²⁰¹⁶f（-2016）＜f（0），f（2016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• D． e²⁰¹⁶f（-2016）＞f（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）

Answer 1

分析 根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，
所以g（-2016）＞g（0）＞g（2016）
即$\frac{f（-2016）}{{e}^{-2016}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$＞$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$，
所以f（0）＜$\frac{f（-2016）}{{e}^{-2016}}$=e²⁰¹⁶f（-2016），e²⁰¹⁶f（0）＞f（2016），
故选：D．

点评 本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．