Question

7．已知圆心为C 的圆经过点A（-3，2）和点B（1，0），且圆心C在直线y=x+1上．
（1）求圆C的标准方程．
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN 的中点G的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．
（2）设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程．

解答 解：（1）由圆心C在直线y=x+1上，可设圆心的坐标为C（a，a+1），
再根据圆C经过点A（-3，2）和点B（1，0），可得|CA|=|CB|，
即（a+3）²+（a-1）²=（a-1）²+（a+1）²，求得a=-2，
可得圆心C的坐标是（-2，-1），r=$\sqrt{10}$，
∴圆C的标准方程为（x+2）²+（y+1）²=10
（2）设N（x₁，y₁），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得x₁=2x-3，y₁=2y-4，
∵N在圆C上，∴（2x-1）²+（2y-3）²=10，
∴点G的轨迹方程是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．

点评 本题是直线与圆的方程综合性题，考查了用待定系数法求圆的方程，用代入法求动点的轨迹方程，属于中档题．