Question

10．已知函数f（x）=x³+$\sqrt{{a}^{2}{x}^{2}-ax+\frac{1}{4}}$（a≥0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：函数f（x）有且只有一个零点．

Answer 1

分析 （1）a代入可得f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，分区间讨论去绝对值得出函数的单调区间；
（2）整理得f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，构造函数令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，函数零点问题相当于两函数交点问题，通过数形结合，得出结论．

解答 解：（1）当a=1时，
f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，
当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）=x³+x-$\frac{1}{2}$|，显然递增；
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=x³-x+$\frac{1}{2}$|，
f'（x）=3x²-1，
∴当x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，f'（x）＞0，函数递增，
当x∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$）时，f'（x）＜0，函数递减，
（2）f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，
令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，
画出函数h（x）图象如图：
由g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|图象可知有且只有一个交代，
∴函数f（x）有且只有一个零点．

点评 本题考查了分段函数单调性问题和利用构造函数的方法解决函数零点问题．