Question

17． 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于A、B两点，O为坐标原点
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-$\frac{3}{4}$，求椭圆的离心率．
（2）若椭圆的一个焦点为F（2，0），在（1）的条件下，椭圆上存在两点P、Q，满足$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，其中M（3，0）试求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A（-a，0），B（a，0）．利用斜率计算公式可得k_AP•k_BP=$\frac{y}{x+a}$×$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，又y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$化简解出即可得出．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．设P（x，y），则y²=$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$．由$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$=${\overrightarrow{PQ}}^{2}$，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），则满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A（-a，0），B（a，0）．
∵k_AP=$\frac{y}{x+a}$，k_BP=$\frac{y}{x-a}$，
∴k_AP•k_BP=$\frac{y}{x+a}$×$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，又y²=${b}^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，b²=a²-c²=12．
∴$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
设P（x，y），则y²=$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$．
∵$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{MQ}$，其中M（3，0），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$=${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（x-3）²+y²=x²-6x+9+$12（1-\frac{{x}^{2}}{16}）$=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-6x+21=$\frac{1}{4}$（x-12）²-15．
∵-4≤x≤4，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PQ}$的取值范围是[1，49]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的数量积坐标运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．