Question

6．f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1（其中a∈R，e为自然数的底数），g（x）=f′（x）为f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在R上存在最小值，且最小值为0，求实数a的值；
（3）求证：当x≥0时，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，再求g（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，判断导数的符号，即可得到所求单调区间；
（2）由（1）的单调区间，可得最小值，进而解得a=1；
（3）当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，结合x-sinx的大小，运用不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1的导数为f′（x）=e^x-ax-1，
g′（x）=e^x-a，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当a＞0时，x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）递增；
x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有a≤0时，g（x）的增区间为R；
a＞0时，g（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）；
（2）当a≤0时，g（x）递增，无最小值；
当a＞0时，g（x）在x=lna处取得极小值，也为最小值，
即有g（lna）=a-alna-1，
令h（a）=a-alna-1，h′（a）=1-（1+lna）=-lna，
0＜a＜1时，h（a）递增；a＞1时，h（a）递减．
即有h（a）≤h（1）=0，
由g（x）的最小值为0，即有a=1；
（3）证明：当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，
即有e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$x²，
e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$xsinx=$\frac{1}{2}$x（x-sinx），
令p（x）=x-sinx，x≥0，p′（x）=1+cosx≥0，p（x）在x≥0递增，
即有p（x）≥p（0）=0，即x≥sinx，
则e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥0，
故当x≥0时，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式的证明，注意运用构造函数的思想方法，属于中档题．