Question

(本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）证明: BC⊥PQ;
（2）设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？
（3）当时, 求二面角B－AC－P的大小.

Answer 1

（1）证明见解析
（2）k＝1
（3）

（1）在平面内过点C作CE⊥PQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.

, 即点C在平面内的射影为点E,
所以.
又.
, 故 BE⊥PQ, 又
, ,
平面EBC, 故BC⊥PQ.
（2）由（1）知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点.
, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 当k＝1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.
（3）由（2）知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示) 

不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 则.
所以
设是平面ABC的一个法向量, 由得
取x="1," 得
易知是平面的一个法向量,
设二面角B－AC－P的平面角为, 所以, 由图可知,
二面角B－AC－P的大小为.