Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，△F₁F₂M的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，设M（x₀，y₀），由G为△F₁MF₂的重心，得G点坐标为 G（

x0

3

，

y0

3

），利用面积相等可得，

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，从而求椭圆的离心率．

解答： 解：设M（x₀，y₀），∵G为△F₁MF₂的重心，
∴G点坐标为 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵IG∥x轴，
∴I的纵坐标为

y0

3

，
又∵|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴S△F1MF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|，
又∵I为△F₁MF₂的内心，
∴|

y0

3

|即为内切圆的半径，
内心I把△F₁MF₂分为三个底分别为△F₁MF₂的三边，高为内切圆半径的小三角形，
∴S△F1MF2=

1

2

（|MF₁|+|F₁F₂|+|MF₂|）|

y0

3

|，
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率为e=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义及其应用，同时考查了三角形面积相等的应用，属于基础题．