Question

15．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=1，\overrightarrow{|b}|=2$，$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的夹角为60°，则“m=1”是“$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 由已知中平面向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=1，\overrightarrow{|b}|=2$，$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$”与“$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．

解答 解：∵向量 $\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=1，\overrightarrow{|b}|=2$，$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，
当m=1时，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$=0
故$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，是充分条件，
当$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$时，（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=1-m=0，
故m=1
故“m=1”是“$（\overrightarrow a-m\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$”的充要条件，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积判断两个平面向量的垂直关系．