Question

4．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{{lnx-m{x^2}}}$，m∈R．
（Ⅰ）若1＜x＜2时，f（x）＞1恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若m=0时，令a_n+1=f（a_n），n∈N^*，a₁=$\sqrt{e}$，求证：2ⁿlna_n≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当1＜x＜2时，x-1＞0，欲使f（x）＞1恒成立，即$\frac{x-1}{{lnx-m{x^2}}}$＞1恒成立，只要满足$\left\{\begin{array}{l}{lnx-m{x}^{2}＞0}\\{x-1＞lnx-m{x}^{2}}\end{array}\right.$对x∈（1，2）恒成立即可，分别构造辅助函数，求导，根据函数的单调性，求得m的取值范围；
（Ⅱ）采用数学归纳法，当n=1时，a₁=$\sqrt{e}$，2lna₁=2ln$\sqrt{e}$=1，当n=1时命题成立，假设n=k时命题成立，要证明n=k+1时命题成立，即证明2^k+1lna_k+1≥1，只需证明a_k+1≥e^-2（k+1），构造辅助函数求导，根据函数的单调性，即可求证f（${e}^{{2}^{-k}}$）=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{{2}^{-k}}$＞${e}^{{2}^{-（k+1）}}$，f（${e}^{{2}^{-k}}$）=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{{2}^{-k}}$＞${e}^{{2}^{-（k+1）}}$．

解答 解：（Ⅰ）当1＜x＜2时，x-1＞0，欲使f（x）＞1恒成立，即$\frac{x-1}{{lnx-m{x^2}}}$＞1恒成立，
只要满足$\left\{\begin{array}{l}{lnx-m{x}^{2}＞0}\\{x-1＞lnx-m{x}^{2}}\end{array}\right.$对x∈（1，2）恒成立即可．…（2分）
对于lnx-mx²＞0，即m＜$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
∴函数h（x）在（1，$\sqrt{e}$）内单调递增，在（$\sqrt{e}$，2）内单调递减，
而h（1）=0＜h（2）=$\frac{ln2}{4}$，
∴m≤0．…（3分）
对于x-1＞lnx-mx²，即m＞$\frac{lnx-x+1}{{x}^{2}}$，令φ（x）=$\frac{lnx-x+1}{{x}^{2}}$，
则φ′（x）=$\frac{（\frac{1}{x}-1）•{x}^{2}-2x（lnx-x+1）}{{x}^{4}}$=$\frac{x-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令g（x）=x-1-2lnx则g′（x）=$\frac{x-2}{x}$＜0，
∴g（x）=x-1-2lnx在（1，2）内单调递减，则x-1-2lnx＜0，从而φ′（x）＜0，
∴φ（x）在（1，2）内单调递减，则φ（x）＜0且当x→1时，φ（x）→x，
∴m≥0，
综上所述可得：m=0．…（6分）
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2ⁿlna_n≥1，
（1）当n=1时，a₁=$\sqrt{e}$，
∴2lna₁=2ln$\sqrt{e}$=1，
∴当n=1时命题成立．…（7分）
（2）假设n=k时命题成立，即2ⁿlna_n≥1，要证明n=k+1时命题成立，即证明2^k+1lna_k+1≥1．
只需证明a_k+1≥e^-2（k+1），
∵a_k+1=f（a_k）即证明f（a_k）≥e^-2（k+1），
由f′（x）=（$\frac{x-1}{lnx}$）′=$\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{（lnx）^{2}}$，
当x＞1时，易证lnx+$\frac{1}{x}$-1＞0，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
由归纳假设2^klna_k+1≥1，得a_k≥${e}^{{2}^{-k}}$＞1，
∴f（a_k）＞f（${e}^{{2}^{-k}}$）=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{ln{e}^{{2}^{-k}}}$=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{{2}^{-k}}$，?
若f（${e}^{{2}^{-k}}$）≥${e}^{{2}^{-（k+1）}}$，则必有f（a_k）≥${e}^{{2}^{-（k+1）}}$，故现在证明f（${e}^{{2}^{-k}}$）≥${e}^{{2}^{-（k+1）}}$…（9分）
构造函数u（x）=e^x-x${e}^{\frac{x}{2}}$-1，则u′（x）=e^x-${e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{2}$${e}^{\frac{x}{2}}$=${e}^{\frac{x}{2}}$（${e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{2}$-1），
∵x＞0，易证${e}^{\frac{x}{2}}$-$\frac{x}{2}$-1＞0，u′（x）＞0，
∴函数u（x）在（0，+∞）上为增函数，
故u（$\frac{1}{{2}^{k}}$）＞u（0）=0，即${e}^{\frac{1}{{2}^{k}}}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$•${e}^{\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{k}}}$-1＞0，
则f（${e}^{{2}^{-k}}$）=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{{2}^{-k}}$＞${e}^{{2}^{-（k+1）}}$，
由（1）及题意知f（${e}^{{2}^{-k}}$）=$\frac{{e}^{{2}^{-k}}-1}{{2}^{-k}}$＞${e}^{{2}^{-（k+1）}}$，
综合（1）（2）知：对任意的n∈N*都有2ⁿlna_n≥1成立．…（12分）

点评 本题考查利用导数求函数的单调性及极值的综合运用，考查数学归纳法求证不等式成立，构造法求函数的单调性，考查学生的归纳推理能力，属于难题．