Question

15．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），在$x=\frac{π}{12}$时取得最大值4．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若$f（{\frac{2}{3}α+\frac{π}{12}}）=\frac{12}{5}$，求sinα．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦函数的图象与性质，求出A、φ的值即可；
（Ⅱ）利用利用f（x）的解析式，结合二倍角公式求出sinα的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈R，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$时取得最大值4，
∴A=4，且3×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
即φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$）；
（Ⅱ）∵f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$），
且f（$\frac{2}{3}$α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{12}{5}$，
∴4sin（2α+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{5}$，
即sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=1-2sin²α=$\frac{3}{5}$，
即sin²α=$\frac{1}{5}$，
解得sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题目．