Question

20．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． $\frac{32}{3}$π

Answer 1

分析 求出PA=1，PC=$\sqrt{3}$，PB=2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：∵AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，
∴PA=1，PC=$\sqrt{3}$，PB=2
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵长方体的对角线长为$\sqrt{1+3+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴球直径为2$\sqrt{2}$，半径R=$\sqrt{2}$，
因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³
=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故选：B．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于中档题．