Question

3．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿AB折起，使得面ABD⊥面ABC，如图二，E为AC的中点
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）求△ADC的面积；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BD⊥面ABC，即可证明BD⊥AC；
（Ⅱ）证明AC⊥DE，即可求△ADC的面积；
（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥A-BDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵面ABD⊥面ABC，面ABD∩面ABC=AB，BD?面ABD，BD⊥AB，
∴BD⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，∴BD⊥AC     …（4分）
（Ⅱ）解：∵BD⊥面ABC，BC?面ABC，∴BD⊥BC，
在Rt△DBC中，BC=BA=2，BD=2，
∴DC=2$\sqrt{2}$，
因为BD⊥面ABC，△ABC是正三角形，E为AC的中点，
∴AC⊥BE，AC⊥BD⇒AC⊥面BED⇒AC⊥DE
∴$△ABC中BE=\sqrt{3}，在Rt△BDE中，DE=\sqrt{B{D^2}+B{E^2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}AC×ED=\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}=\sqrt{7}$…（8分）
（Ⅲ）解：${V_{A-BDE}}={V_{D-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}×BD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AE×BE×BD=\frac{1}{6}×1×\sqrt{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查体积的求法，正确运用线面垂直的判定定理是关键．