Question

C是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=OF，AB∥OC，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出A，B的坐标，求得AB的斜率，再由两直线平行的条件可得直线OC的方程，联立椭圆方程解得交点C，再由OC=c，结合离心率公式，即可得到．

解答： 解：A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，
即为A（-a，0），B（0，b），
则直线AB的斜率为

b

a

，
由于AB∥OC，则k_OC=

b

a

，
设直线OC：y=

b

a

x，
则联立椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
解得交点C（

2

2

a，

2

2

b），
由|OC|=|OF|，可得，

1

2

（a²+b²）=c²，
即有a²+a²-c²=2c²，
即2a²=3c²，
则e=

c

a

=

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，考查两直线平行的条件和联立直线方程和椭圆方程求交点的方法，考查运算能力，属于中档题．