Question

已知函数f（x）=

3

（sin²x-cos²x）-2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，然后，借助于周期公式进行求解；
（2）结合给定的x∈[-

π

2

，

π

2

]，求解其值域和单调递增区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

3

（sin²x-cos²x）-2sinxcosx
=-

3

cos2x-sin2x
=-sin（2x+

π

3

），
∴f（x）=-sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π；
（2）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x∈[-π，π]，
∴（2x+

π

3

）∈[-

2π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴-sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴f（x）的值域[-1，1]，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

5π

6

+2kπ≤2x≤

π

6

+2kπ，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴该函数的单调递增区间为[0，

π

12

]．

点评：本题重点考查了三角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．