Question

图为某少数民族最常见的四个刺绣图案，这些图案都是小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）的值；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；
（Ⅲ）证明

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,归纳推理

专题：计算题,等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（Ⅰ）由图依次求出f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（5）=41；
（Ⅱ）由f（2）-f（1）=1+3；f（3）-f（2）=3+5；f（4）-f（3）=5+7；f（5）-f（4）=7+9归纳出f（n+1）-f（n）=（2n-1）+（2n+1）=4n；从而求f（n）；
（Ⅲ）

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

）=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）；从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，f（1）=1；
f（2）=5；
f（3）=13，
f（4）=25，
f（5）=41；
（Ⅱ）f（2）-f（1）=1+3；
f（3）-f（2）=3+5；
f（4）-f（3）=5+7；
f（5）-f（4）=7+9；
故f（n+1）-f（n）=（2n-1）+（2n+1）=4n；
故f（n）=1+4+8+12+…+4（n-1）
=2n（n-1）+1；
（Ⅲ）证明：

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

）
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=

1

2

（1-

1

n

）＜

1

2

．

点评：本题考查了归纳推理的应用及裂项求和的应用，属于中档题．