Question

14．已知f（x）是定义在[-1，1]上的单调递增函数，且f（1）=1．
（1）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x）；
（2）若f（x）≤m²-2m+1，对所有x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定义在[-1，1]上的单调递增函数，不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x）即为-1≤x+$\frac{1}{2}$≤1，-1≤1-x≤1，x+$\frac{1}{2}$＜1-x，解不等式即可得到所求解集；
（2）由题意可得f（x）的最大值为1，有1≤m²-2m+1，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）是定义在[-1，1]上的单调递增函数，
不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x）即为
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{0≤x≤2}\\{x＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得0≤x＜$\frac{1}{4}$，
即有解集为[0，$\frac{1}{4}$）；
（2）f（x）是定义在[-1，1]上的单调递增函数，
且f（1）=1，则f（x）的最大值为1，
f（x）≤m²-2m+1，对所有x∈[-1，1]恒成立，
即有1≤m²-2m+1，解得m≥2或m≤0．
故实数m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，注意函数定义域的运用，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．