题目内容
17．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{x}，且f（1）=2$（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．
分析 （1）由解析式先求出函数的定义域，化简f（x）和f（-x）后，由函数奇偶性的定义即可证明；
（2）根据函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．
解答 （1）证明：f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∵f（1）=2，∴1+a=2，即a=1
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=x1+$\frac{1}{x1}$-（x2+$\frac{1}{x2}$）
=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
∵x1＜x2，且x1x2∈（1，+∞），
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
点评 本题考查函数奇偶性的定义，函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．
练习册系列答案
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