Question

18．设二阶矩阵A，B满足A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，BA=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，求矩阵B的特征值．

Answer 1

分析 由题意知BAA^-1=EA^-1⇒B=A^-1，所以矩阵B的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-3}&{λ-2}\end{array}|$=λ²-3λ-4；

解答 解：∵BA=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，∴BAA^-1=EA^-1⇒B=A^-1；
∵A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，∴B=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$；
∴矩阵B的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-3}&{λ-2}\end{array}|$=λ²-3λ-4；
由f（λ）=0，解得λ₁=-1，λ₂=4；
∴矩阵B的特征值为-1和4．

点评 本题主要考查了矩阵与逆矩阵之间的关系，以及特征多项式的求法，属基础题．