Question

9．已知正三角形ABC的边长为2，点D是边BC上一动点，点D到AB、AC的距离分别为x、y，则xy的最大值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由ABC是的边长为2的正三角形，每个角是60°，x、y分别是点D到AB、AC的距离，利用三角函数的定义可得BD和DC的距离．利用基本不等式即可求xy的最大值．

解答 解：由题意，ABC是的边长为2的正三角形，每个角是60°，x、y分别是点D到AB、AC的距离，
∴BD=$\frac{x}{sin60°}$，DC=$\frac{y}{sin60°}$
可得：BD+DC=$\frac{y}{sin60°}$+$\frac{x}{sin60°}$=2，即x+y=$\sqrt{3}$．
∵$\sqrt{3}$=x+y$≥2\sqrt{xy}$，当且仅当x=y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号．
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}≥\sqrt{xy}$．
∴xy的最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$

点评 本题考查了三角函数定义与基本不等式的性的运用，属于基础题．