Question

已知f（x）=x-sinx，求证：若x，θ∈（0，π），则

2f(θ)+f(x)

3

≥f（

2θ+x

3

）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：证明题,导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），求导g′（x）=

1

3

（1-cosx）-

1

3

（1-cos

2θ+x

3

）=

1

3

（cos

2θ+x

3

-cosx），从而可得g_min（x）=g（θ）=0；从而证明．

解答： 证明：构造函数g（x）=

2f(θ)+f(x)

3

-f（

2θ+x

3

），
则g′（x）=

1

3

（1-cosx）-

1

3

（1-cos

2θ+x

3

）
=

1

3

（cos

2θ+x

3

-cosx）
又∵y=cosx在（0，π）上单调，
故

2θ+x

3

=x；故x=θ；
∴x∈（0，θ），g′（x）＜0，x∈（θ，π），g′（x）＞0；
故g（x）在（0，θ）上单调递减，在（θ，π）上单调递增；
∴g_min（x）=g（θ）=0；
∴x∈[0，π]时，g（x）≥g（θ）=0；
故若x，θ∈（0，π），则

2f(θ)+f(x)

3

≥f（

2θ+x

3

）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于基础题．