Question

8．在△ABC中，D为BC的中点，满足∠A=$\frac{2π}{3}$，∠BAD+∠C=90°，则∠B=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 设∠BAD=α，∠CAD=β，由∠BAD+∠C=90°，可得α=90°-∠C，β=90°-∠B，由D为BC的中点，可得S_△ABD=S_△ACD，因此$\frac{1}{2}c•ADsinα=\frac{1}{2}b•ADsinβ$，
化为csinα=bsinβ，可得ccosC=bcosB，利用正弦定理即可得出．

解答 解：设∠BAD=α，∠CAD=β，∵∠BAD+∠C=90°，∴α=90°-∠C，β=90°-∠B，
∵D为BC的中点，∴S_△ABD=S_△ACD，∴$\frac{1}{2}c•ADsinα=\frac{1}{2}b•ADsinβ$，
∴csinα=bsinβ，∴ccosC=bcosB，由正弦定理得，sinCcosC=sinBcosB，
∴sin2C=sin2B，∴2∠B=2∠C或2B+2C=π，∴∠B=∠C或$∠B+∠C=\frac{π}{2}$（舍去），
∴∠B=∠C=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．