Question

12．在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．
（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；
（2）求点A到面COD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，可得$\frac{BG}{GE}$=2，连接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，进而得出F点的位置．
（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用V_A-OCD=V_D-AOC，即可得出．

解答 解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，∴$\frac{BG}{GE}$=2，
连接DG，
∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，
∴EF∥DG，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{BG}{GE}$=2，
又BD=DP，∴DF=PF=$\frac{1}{4}$PB．
∴点F是PB上靠近点P的四等分点． 
（2）由PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PO，又点C是弧AB的中点，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．
OD?平面POB，∴OC⊥OD．
S_△COD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∵V_A-OCD=V_D-AOC，∴$\frac{1}{3}$•S_△COD•d=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}$•$\frac{1}{2}$PO，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{4}$d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$，
∴点A到面COD的距离$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间距离、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．