Question

17．如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=4，${A_1}A=4\sqrt{3}$，D，F分别是棱AB，AA₁的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为$2\sqrt{7}+4$．

Answer 1

分析 由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC的性质可得：AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC₁A₁在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．

解答 解：由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，可得AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．
把底面ABC展开与侧面ACC₁A₁在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90^°=150^°，由余弦定理可得：
DE=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}-2×2\sqrt{3}×2×cos150°}$=2$\sqrt{7}$．
∴△DEF周长的最小值=$2\sqrt{7}+4$．．
故答案为：$2\sqrt{7}+4$．

点评 本题考查了空间几何位置关系、余弦定理、侧面展开图，考查了转化能力、数形结合能力、推理能力与计算能力，属于中档题．