Question

14．已知函数$f（x）={sin^4}x+{cos^4}x，x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，若f（x₁）＜f（x₂），则一定有（　　）

• A． x₁＜x₂
• B． x₁＞x₂
• C． ${x_1}^2＜{x_2}^2$
• D． ${x_1}^2＞{x_2}^2$

Answer 1

分析 把已知函数解析式变形，由f（x₁）＜f（x₂），得sin²2x₁＞sin²2x₂，即|sin2x₁|＞|sin2x₂|，再由x₁，x₂的范围可得|2x₁|＞|2x₂|，即|x₁|＞|x₂|，得到${{x}_{1}}^{2}＞{{x}_{2}}^{2}$．

解答 解：f（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=$1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2x$．
由f（x₁）＜f（x₂），得$1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2{x}_{1}＜1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2{x}_{2}$，
∴sin²2x₁＞sin²2x₂，即|sin2x₁|＞|sin2x₂|，
∵x₁∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，x₂∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，
∴2x₁∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，2x₂∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
由|sin2x₁|＞|sin2x₂|，得|2x₁|＞|2x₂|，即|x₁|＞|x₂|，∴${{x}_{1}}^{2}＞{{x}_{2}}^{2}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数线的应用，属中档题．