某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图.其中产品净重的范围是[96.106].样本数据分组为[96.98).[98.100).[100.102).[102.104).[104.106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36．(1)求样本容量.频率分布直方图中的a,(2)已知这批产品中每个产品� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36．
（1）求样本容量、频率分布直方图中的a；
（2）已知这批产品中每个产品的利润y（单位：元）与产品净重x（单位：克）的关系式为$y=\left\{{\begin{array}{l}3，{96≤x＜98}\\ 5，{98≤x＜104}\\ 4，{104≤x＜106}\end{array}}\right.$，求这批产品的平均利润．

分析（1）根据频率分布直方图中频率和为1，列出方程求出a的值，再利用频率=$\frac{频数}{样本容量}$求出样本容量；
（2）根据题意求出这批产品中在[96，98）、[98，104）和[104，106]内的数量，求出对应的平均利润．

解答解：（1）根据频率分布直方图中频率和为1，得；
（0.05+0.10+0.15+a+0.075）×2=1
解得a=0.125；
样本中产品净重小于100克的频率为（0.05+0.10）×2=0.3，
对应的频数是36，
所以样本容量为$\frac{36}{0.3}$=120；
（2）根据题意，这批产品中在[96，98）内的数量为120×0.05×2=12，
在[98，104）内的数量为120×（1-0.1-0.075×2）=90，
在[104，106]内的数量为120×0.075×2=18，
又利润函数$y=\left\{{\begin{array}{l}3，{96≤x＜98}\\ 5，{98≤x＜104}\\ 4，{104≤x＜106}\end{array}}\right.$，
所以这批产品的平均利润为$\overline{x}$=$\frac{1}{120}$（12×3+90×5+18×4）=4.65．

点评本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了加权平均数的应用问题，是基础题目．