Question

10．已知曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cost\\ y=3+sint\end{array}\right.$（t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）求C₁，C₂的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}+\sqrt{3}t\\ y=-3-t\end{array}\right.$（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出参数得正余弦，利用正余弦的平方和等于1消去参数得到普通方程；
（2）求出P点坐标，设Q的坐标，求出M的坐标和C₃的普通方程，根据点到直线的距离公式求出距离的最小值．

解答 解：（1）∵C₁参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cost\\ y=3+sint\end{array}\right.$（t为参数），∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=x+1}\\{sint=y-3}\end{array}\right.$，
∴C₁的普通方程为（x+1）²+（y-3）²=1．曲线C₁表示以（-1，3）为圆心，1为半径的圆．
∵曲线C₂的参数方程为；$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{6}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．曲线C₂表示焦点在x轴上的一个椭圆．
（2）∵C₁上P点对于的参数t=$\frac{π}{2}$，∴P点坐标为P（-1，4）．
∵Q为C₂上的动点，设Q（6cosθ，2sinθ），则PQ中点M的坐标为M（3cosθ$-\frac{1}{2}$，sinθ+2）．
∵直线C₃的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}+\sqrt{3}t\\ y=-3-t\end{array}\right.$（t为参数），∴直线C₃的普通方程为x+$\sqrt{3}$y=0．
∴点M到直线C₃的距离d=$\frac{|3cosθ-\frac{1}{2}+\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=|$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$|．
∵$\sqrt{3}-\frac{1}{4}$$＜\sqrt{3}$，∴d≥0．
∴PQ中点M到直线C₃的距离的最小值为0．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于中档题．