Question

已知椭圆C：4x²+y²=1及直线l：y=x+m，m∈R，求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先将直线方程代椭圆方程，消去y，然后由韦达定理求两根之和x₁+x₂，代入直线方程求y₁+y₂，求出中点坐标和轨迹即可．

解答： 解：将直线方程y=x+m代入椭圆C方程4x²+y²=1，整理后得：5x²+2mx+m²-1=0，由题意，方程有两根则△=4m²-4×5×（m²-1）＞0，解得-

5

2

＜m＜

5

2

，
设直线l与椭圆C两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁，x₂为方程的两根，
由韦达定理有x₁+x₂=-

2m

5

，
则y₁+y₂=（x₁+m）+（x₂+m）=x₁+x₂+2m=

8m

5

则弦AB的中点坐标就是（-

m

5

，

4m

5

）
令x=-

m

5

，y=

4m

5

，消去m，得到中点轨迹为：y=-4x，
由x=-

m

5

，得-

5

2

＜m＜

5

2

，可得-

5

10

＜x＜

5

10

，
综上，直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹方程为y=-4x，（-

5

10

＜x＜

5

10

）．

点评：本题考察直线与曲线相交弦问题，用到了中点坐标公式，求动点轨迹方程问题属于典型题目，注意总结．