Question

2．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}{b}$，
（1）求角C的大小；（2）若cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）将切化弦化简条件式，利用正弦定理消去sinA，sinB，得出cosC；
（2）利用两角和差的三角函数公式计算．

解答 解：（1）在△ABC中，∵1+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{2a}{b}$，∴1+$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{2a}{b}$，即$\frac{sinA}{sinBcosC}=\frac{2a}{b}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cos（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosB=cos（B+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（B+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（B+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
sinB=sin（B+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（B+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（B+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$，
∴sinA=sin（$\frac{2π}{3}-B$）=sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理，两角和差的三角函数公式，属于中档题．