Question

3．点在函数y=x³-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于$\frac{π}{4}$，且该点的横、纵坐标都为整数的点的个数为（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率，求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数．

解答 解：∵切线倾斜角小于$\frac{π}{4}$，
∴斜率k∈[0，1）．
设切点为（x₀，x₀³-9x₀），则k=y′|_x=x0=3x₀²-9，
∴0≤3x²₀-9＜1，即3≤x₀²＜$\frac{10}{3}$．
又∵x₀∈Z，∴x₀不存在．
则该点的横、纵坐标都为整数的点的个数为0．
故选：D．

点评 本题考查直线的斜率、导数的运算及几何意义，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．