Question

18．若函数f（x）存在x∈[m，n]使f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k∈N₊）成立，则称区间[m，n]为函数f（x）的一个“k倍区间”．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$+x³，则f（x）的“k倍区间”的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 容易判断f（x）为奇函数，且过原点，通过求导数f′（x），便可判断f（x）在R上为增函数，并可将函数f（x）变成：$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}+{x}^{3}$，可判断0$＜1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜1$，从而便可看出函数f（x）的图象接近函数y=x³的图象．这样根据图象即可看出f（x）=kx有3个根，分别为：-t，0，t，这样便可得出区间[-t，0]，[0，t]，[-t，t]都是f（x）的k倍区间，从而便可得出f（x）k倍区间的个数．

解答 解：f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}+（-x）^{3}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-{x}^{3}=f（-x）$；
∴f（x）为奇函数，$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}+{x}^{3}$，$f′（x）=\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}+3{x}^{2}＞0$；
∴f（x）在R上单调递增，且x＞0时，$0＜1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴函数f（x）的图象接近y=x³的图象，从而根据图象可看出：
方程f（x）=kx有三个根据：-t，0，t，t＞0；
∴区间[-t，0]，[0，t]，[-t，t]都是函数f（x）的“k倍区间”；
即f（x）k倍区间的个数为3．
故选：D．

点评 考查对函数“k倍区间”定义的理解，奇函数的定义，以及根据导数符号判断函数单调性的方法，能判断出f（x）的图象接近y=x³的图象，是本题关键．