Question

9．曲线C：y=$\frac{1}{8}$x²的焦点为F，定点A（-1，0），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$：（2+$\sqrt{5}$）
• B． 2：（2+$\sqrt{5}$）
• C． 1：（1+$\sqrt{5}$）
• D． $\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 由x²=8y的焦点为F（0，2），点A坐标为A（-1，0），直线AF的斜率为k=2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得：|FM|=|PM|，$\frac{丨MP丨}{丨NP丨}$=2，可得|MP|=2|NP|，由勾股定理可知：|MN|=$\sqrt{丨MP{丨}^{2}+丨NP{丨}^{2}}$=$\sqrt{5}$|NP|，|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|MP|=（2+$\sqrt{5}$）|NP|，即可求得|MN|：|FN|的值．

解答 解：∵抛物线C：x²=8y的焦点为F（0，2），点A坐标为A（-1，0），
∴抛物线的准线方程为l：y=-2，直线AF的斜率为k=2，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得：|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠MNP=k=2，
∴$\frac{丨MP丨}{丨NP丨}$=2，可得|MP|=2|NP|，
则|MN|=$\sqrt{丨MP{丨}^{2}+丨NP{丨}^{2}}$=$\sqrt{5}$|NP|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|MP|=（2+$\sqrt{5}$）|NP|，
∴|MN|：|FN|=$\sqrt{5}$：（2+$\sqrt{5}$），
故选A．

点评 本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，勾股定理，考查计算能力，属于中档题．