题目内容
对某小区居民一个月内参加娱乐活动的次数进行统计，随机抽取M名居民作为样本，得到这M名居民参加娱乐活动的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（I）求出表中的M，p及图中a的值；
（Ⅱ）试估计这M名居民在一个月内参加娱乐活动的平均次数（同一组的数据用该组的中间值作代表）；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加娱乐活动次数不少于20次的居民中任取2人，求两人参加娱乐活动次数都在区间[20，25）内的概率．
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [10，15） | 10 | 0.25 |
| [15，20） | 24 | n |
| [20，25） | m | p |
| [25，30） | 1 | 0.05 |
| 合计 | M | 1 |
考点：频率分布直方图,频率分布表
专题：概率与统计
分析：（I）根据频率分布直方图，利用频率=
的关系，求出M、m与p的值，再计算a的值；
（Ⅱ）利用每一小组的组中值×对应的频率，求出数据的平均数
，；
（Ⅲ）利用列举法计算古典概型的概率即可．
| 频数 |
| 样本容量 |
（Ⅱ）利用每一小组的组中值×对应的频率，求出数据的平均数
. |
| x |
（Ⅲ）利用列举法计算古典概型的概率即可．
解答：
解：（I）由小组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，
∴
=0.25，∴M=40；
由小组[25，30）的频率是0.05，
∴对应的频数是l=40×0.05=2，
又∵频数之和为40，
∴m=40-10-24-2=4；
∴p=
=0.1；
又小组[15，20）的频率为
=0.6，
∴图中a的值为a=
=0.12；
（Ⅱ）设这40名居民在一个月内参加娱乐活动的平均次数为
，
则
═12.5×0.25+17.5×0.6+22.5×0.1+27.5×0.05=17.25；
∴估计这40名居民在一个月内参加娱乐活动的平均次数是17.25；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加娱乐活动次数不少于20次的居民有4+2=6人，
设参加娱乐活动的次数在[20，25）内的记为a、a、a、a，在[25，30）内的记为b、b，
从中任取2人，基本事件是（a，a），（a，a），（a，a），（a，b），（a，b），
（a，a），（a，a），（a，b），（a，b），
（a，a），（a，b），（a，b），
（a，b），（a，b），（b，b）共15种；
两人参加娱乐活动次数都在区间[20，25）内的基本事件是
（a，a），（a，a），（a，a），（a，a），（a，a），（a，a）共6种；
∴对应的概率是P=
=
．
∴
| 10 |
| M |
由小组[25，30）的频率是0.05，
∴对应的频数是l=40×0.05=2，
又∵频数之和为40，
∴m=40-10-24-2=4；
∴p=
| 4 |
| 40 |
又小组[15，20）的频率为
| 24 |
| 40 |
∴图中a的值为a=
| 0.6 |
| 5 |
（Ⅱ）设这40名居民在一个月内参加娱乐活动的平均次数为
. |
| x |
则
. |
| x |
∴估计这40名居民在一个月内参加娱乐活动的平均次数是17.25；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加娱乐活动次数不少于20次的居民有4+2=6人，
设参加娱乐活动的次数在[20，25）内的记为a、a、a、a，在[25，30）内的记为b、b，
从中任取2人，基本事件是（a，a），（a，a），（a，a），（a，b），（a，b），
（a，a），（a，a），（a，b），（a，b），
（a，a），（a，b），（a，b），
（a，b），（a，b），（b，b）共15种；
两人参加娱乐活动次数都在区间[20，25）内的基本事件是
（a，a），（a，a），（a，a），（a，a），（a，a），（a，a）共6种；
∴对应的概率是P=
| 6 |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查了频率与频数、样本容量的计算问题，利用直方图计算平均数的应用问题以及利用列举法计算古典概型的概率问题，是综合性题目．
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