Question

15．已知点O、N、P在三角形ABC所在平面内，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，则点O、N、P依次是三角形ABC的（　　）

• A． 重心、外心、垂心
• B． 重心、外心、内心
• C． 外心、重心、垂心
• D． 外心、重心、内心

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，得到O是三角形的外心，只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，由$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，得到$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$，同理得到另外两个向量都与边垂直，从而P是三角形的垂心．

解答 解：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，
∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
∵$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}$=0，
∴$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$，同理得到另外两个向量都与边垂直，
∴P是三角形的垂心．
故选：C．

点评 本题考查三角形的重心、外心、垂心的判断，涉及到向量、三角形五心等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．