Question

5．已知A，B分别是射线CM，CM（不含端点C）上运动，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若∠MCN=$\frac{2π}{3}$，a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
（2）若∠MCN=$\frac{π}{3}，c=\sqrt{3}$，∠ABC=θ，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列推导出a=c-4，b=c-2，由$∠MCN=\frac{2}{3}π，cosC=-\frac{1}{2}$，得c²-9c+14=0，由此能求出c．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2，从而AC=2sinθ，BC=2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）$，由此能求出a+b的最大值．

解答 解：（1）因为a，b，c成等差数列，且公差为2，所以a=c-4，b=c-2，
又因为$∠MCN=\frac{2}{3}π，cosC=-\frac{1}{2}$，所以$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}⇒\frac{{{{（c-4）}^2}+{{（c-2）}^2}-{c^2}}}{2（c-4）（c-2）}=-\frac{1}{2}$，
变形得c²-9c+14=0，解得c=7或c=2，
又因为c＞4，所以c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，
所以$\frac{AC}{sinθ}=\frac{BC}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2⇒AC=2sinθ，BC=2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）$
所以$a+b=|{AC}|+|{BC}|=2sinθ+2sin（\frac{2π}{3}-θ）=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ）=2\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，
又因为$θ∈（0，\frac{2π}{3}）$，所以$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
当$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$时，a+b取得最大值$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的边长的求法，考查两边和的最大值的求法，涉及到等差数列、正弦定理、正弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．